تجزیه به مؤلفه‌های اصلی (PCA): فرمول‌ها، مثال‌ها و اجرا در SPSS

مجموعه داده های بزرگ به طور فزاینده ای در بسیاری از رشته ها گسترش می یابد و اغلب تفسیر آنها دشوار است. برای تفسیر چنین مجموعه‌ داده هایی‌، روش‌هایی لازم است که ابعاد داده ها را به روشی قابل تفسیر به شدت کاهش دهند، به طوری که بیشتر اطلاعات موجود در داده‌ها حفظ شود. امروزه تکنیک های زیادی برای این منظور توسعه یافته است، اما تجزیه و تحلیل مؤلفه اصلی (PCA) یکی از قدیمی ترین و پرکاربردترین آنهاست. ایده آن ساده است، کاهش ابعاد یک مجموعه داده، در حالی که تا آنجایی که ممکن است «تغییرپذیری» (یعنی اطلاعات آماری) حفظ شود.

بنابراین تجزیه و تحلیل مؤلفه اصلی (PCA) تکنیکی برای کاهش ابعاد مجموعه داده ها و افزایش تفسیرپذیری آن ­هاست. در فرایند کار تجزیه به مؤلفه های اصلی تا حد امکان اطلاع کمتری از دست داده می­شود.

تحلیل مؤلفه های اصلی به عنوان اولین هدف، ترکیب خطی استاندارد شده، متغیرهای اولیه را که دارای واریانس ماکسیمال است جستجو می کند.

در این مقاله، به‌صورت گام‌به‌گام فرمول‌ها، محاسبات و مثال‌های کاربردی PCA را بررسی می‌کنیم.

تحلیل مؤلفه های اصلی به تبیین ساختار واریانس-کوواریانس به کمک چند ترکیب خطی از متغیرهای اصلی سر و کار دارد. هدف کلی آن عبارت است تعبیر و تفسیر آسان تر داده با استفاده ازکاهش حجم داده ها.

برای مثال اگر برای مطالعه تغییرپذیری یک سیستم تعداد p متغیر وجود داشته باشد با استفاده از تجزیه به مؤلفه های اصلی می توان این تغییرپذیری را در قالب تعداد کمتری مثلاً k مؤلفه بیان نمود. در این صورت میزان اطلاعی که در k مؤلفه موجود است تقریباً مانند میزان اطلاع در p متغیر اولیه است.

هر مؤلفه اصلی یک ترکیب خطی از متغیرهای اصلی است که:

• اولین مؤلفه (PC1) بیشترین واریانس داده را توضیح می‌دهد.

مؤلفه‌های بعدی به‌صورت متعامد و با واریانس کاهش‌یافته تعریف می‌شوند

1. مراحل محاسبه PCA

1.1. استانداردسازی داده‌ها

از آنجا که PCA به مقیاس متغیرها حساس است، داده‌ها باید استاندارد شوند:

Z=(X−μ)/σ​

مثال:
فرض کنید داده‌های زیر را داریم:

میانگین (μ):

μX1​=4,μX2​=6

انحراف معیار (σ):

σX1​​≈1.63σX2​​≈1.63

داده استانداردشده (Z):

1.2. محاسبه ماتریس کوواریانس

ماتریس کوواریانس رابطه بین متغیرها را نشان می‌دهد:

برای داده استانداردشده، ماتریس کوواریانس برابر ماتریس همبستگی است:

1.3. محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه

مقادیر ویژه (Eigenvalues) و بردارهای ویژه (Eigenvectors) ماتریس کوواریانس، مؤلفه‌های اصلی را تعیین می‌کنند.

معادله ویژه:

C⋅v=λ⋅v

محاسبه برای ماتریس C:

ریشه‌های معادله (مقادیر ویژه):

λ1=2,λ2=0

بردارهای ویژه:

برای λ₁ = 2:

برای λ₂ = 0:

1.4. انتخاب مؤلفه‌های اصلی

مؤلفه‌ها بر اساس مقدار ویژه مرتب می‌شوند:

• PC1 (مؤلفه اول): با λ₁ = 2 (بیشترین واریانس).

• PC2 (مؤلفه دوم): با λ₂ = 0 (واریانس ناچیز).

اگر بخواهیم داده را به یک بُعد کاهش دهیم، فقط PC1 را نگه می‌داریم.

1.5. تبدیل داده‌ها به فضای جدید

داده‌های استانداردشده را در ماتریس بردارهای ویژه ضرب می‌کنیم:

Datanew=Z⋅V

برای مثال:

نتیجه:

• در PC1، داده‌ها به صورت [-1.72, 0, 1.72] نمایش داده می‌شوند.

• PC2 تماماً صفر است، زیرا واریانس ندارد.

2. تفسیر نتایج PCA

• مقدار ویژه: نشان‌دهنده میزان واریانس هر مؤلفه است.

• بارگذاری مؤلفه‌ها (Loadings): نشان می‌دهد هر متغیر اصلی چقدر در مؤلفه جدید نقش دارد.

• نمودار Scree Plot: برای انتخاب تعداد مؤلفه‌های مناسب استفاده می‌شود.

3. کاربردهای PCA

1. تشخیص چهره (Eigenfaces)

2. پردازش تصویر و فشرده‌سازی داده‌ها

3. حذف نویز از داده‌های ژنتیکی

4. کاهش ابعاد قبل از اعمال الگوریتم‌های کلاس‌بندی مانند SVM و رگرسیون

4.مراحل انجام PCA در SPSS

• تجزیه به مؤلفه‌های اصلی (Principal Component Analysis یا PCA)  در نرم‌افزار SPSS به‌راحتی قابل اجراست. در این بخش، مراحل انجام PCA در SPSS را به‌صورت گام‌به‌گام همراه با تفسیر نتایج توضیح می‌دهیم.

4.1. وارد کردن داده‌ها

• داده‌های خود را در SPSS وارد کنید.

• مطمئن شوید که متغیرها به‌صورت عددی (Scale) هستند.

4.2. دسترسی به تحلیل PCA

مسیر زیر را دنبال کنید:

Analyze → Dimension Reduction → Factor