کشف توزیع کای-دو: داستان نبوغ کارل پیرسون در انقلاب آماری

مقدمه: تولد یک ایده انقلابی

کارل پیرسون (Karl Pearson)، یکی از بزرگترین آماردانان تاریخ، در سال ۱۹۰۰ توزیع کای-دو (χ²) را معرفی کرد. این کشف نه تنها پایه های آمار مدرن را تقویت کرد، بلکه مشکل سنجش انحراف داده‌ها از مدل‌های نظری را حل کرد و  روش های تحلیل داده و بنیان‌های آزمون فرضیه و تحلیل آماری را برای همیشه تغییر داد. اما او چگونه به این توزیع رسید؟ داستانی جالب از علم، چالش ها و نبوغ دارد.

۱. مسئله‌ای که ذهن پیرسون را مشغول کرد

در اواخر قرن نوزدهم، دانشمندان با چالش بزرگی روبرو بودند:

• چگونه می‌توان اختلاف بین داده‌های مشاهده‌شده و پیش‌بینی‌های تئوری را به صورت کمّی اندازه‌گیری کرد؟

• آیا تفاوت‌ها معنادار هستند یا فقط نوسانات تصادفی محسوب می‌شوند؟

• مثلاً: “اگر پرتاب سکه ۶۰ بار شیر و ۴۰ بار خط بیاورد، آیا سکه واقعاً منصفانه است؟”

• یا: “آیا توزیع قد سربازان در یک ارتش، واقعاً نرمال است؟”

پیش از پیرسون، روشی سیستماتیک برای پاسخ به این سوالات وجود نداشت. او می خواست معیاری کمّی برای سنجش “فاصله” بین داده های واقعی و مدل نظری پیدا کند.

۲. مسیر کشف: از گالتون تا کای-دو

پیرسون تحت تأثیر فرانسیس گالتون (پدر آمار زیستی) بود که روی توزیع نرمال کار می کرد. اما مشکل اینجا بود:
🔹 همه پدیده ها نرمال نبودند!
🔹 نیاز به روشی برای سنجش انحراف از نرمال احساس می شد.

لحظه نبوغ: معیار مجموع مربعات

پیرسون به ایده درخشانی رسید:
۱. اختلاف هر داده از مقدار انتظاری را محاسبه کند
۲. آن را استانداردسازی کند (تقسیم بر انحراف معیار)
۳. مربع اختلاف‌ها را بگیرد
۴. جمع همه آن‌ها را محاسبه کند

📐 فرمول تاریخی کای-دو: